Sent: 3. februára 2000 11:13 Subject: Algebra 3.2.2000 Caute, Ak este nemate Algebru, tak tu su dnesne priklady : 1. Rieste sustavu a urobte diskusiu vzhladom na parametre a,b,c : ax+y+z=1 x+by+z=1 x+y+cz=1 2. Pre ake lambda je dana kvadraticka forma kladne definitna : 5 x1^2 + x2^2 + lambda x3^2 - 4 x1x2 +2 x1x3 - 2 x2x3 3. Matica ma charakteristicke hodnoty rozne od nuly prave vtedy ak je matica regularna. 4. F', F - konecne polia. F' je nadpole F. |F| = q. (mohutnost) |F'|=q^n pre vhodne n. Sent: 27. januára 2000 11:15 Subject: Algebra 27.1 Taaaakze: 1) Determinant | x y 0 .... 0 | | 0 x y .... 0 | | . . . .... . | | . . . .... . | | 0 0 0 .... y | | y 0 0 .... x | 2) Charakteristicke hodnoty a vektory: ( 3 2 2 ) ( 1 4 1 ) ( -2 -4 -1 ) (to chce byt akoze matica :-) 3) Urcit stupen rozsirenia Q(sqrt(8),3+sqrt(50)) a ci je to jednoduche rozsirenie 4) Riesit Cramerom sustavu (1+a)x + y + z = 1 x + (1+a)y + z = a z + y + (1+a)z = a^2 + diskusia na parameter -- ------------------------------------------------ WEB : http://redbull.dcs.fmph.uniba.sk/~pavlovic Sent: 25. januára 2000 20:02 To: 8inf Subject: Algebra 25.1. Zdar, pre tych, co to este nemaju, dnesna pisomka z algebry, naozaj lahka. 1. Determinant 1 n n .... n n 2 n .... n n n 3 .... n . . . . . . . . . n n n .... n Vysledok: n!*(-1)^(n-1) Navod: (mozno sa do da aj lahsie) 1. Prvy odcitat od kazdeho 2. posledny scitat s predposlednym,... druhy s prvym 3. Rozvinut podla 1.riadku (subdeterm. vyjdu az na posledny nulove) 2. Rieste sustavu a urobte diskusiu na parametre ax+y+z=1 x+by+z=1 x+y+cz=1 Klasicky cramer, vysledok sa mi nechce pisat, podmienka je aby matica bola regularna, co je vtedy, ked |A|<>0 3. Kanonicky tvar vzhadom na obe grupy 5x^2-6xy+5y^2 Lin.gr. a^2+b^2 Ort.gr. 8a^2+2b^2 4. Najdite rozkladove pole polynomu x^4-7 na Q[x] Vyslo mi to Q(7^(1/4),i*(7)^(1/4)) <- slovom, stvrta odmocnina z 7, a i*stvrta odmocnina z 7. Ked mi to kontroloval, tak sa spytal aj na stupen. Lomo Sent: 20. januára 2000 18:26 Subject: Algebra 20.1 Pisomka bola (ako hovorieval akakemik Korinek) tuze trivialni. Fakt jedna z najlahsich. 1.Determinant | 0 1 1 ............... 1 1| | 1 0 x ............... x x| | 1 x 0 ............... x x| | .............................| | 1 x x ............... 0 x| | 1 x x ............... x 0| Vysledok (-1)^n+1 * (n-1) * x^(n-2) 2. Sustava (Cramer) a*x + y + z = 1 x + a*y + z = 1 x + y + a*z = 1 Urobit diskusiu vzhladom na a. (Hlavna matica musi byt regularna, lebo inac Cramerova metoda neudava ziadne vysledky. To znamena (A != 0) a to prave vtedy ked (a != -2) & (a != 1). Potom to uz mozno doriesit Cramerom, korene vydu vsetky rovnake. 3. Nech F je konecne pole, F > F` (tuto > samozrejme neznamena "je vacsi" ale "je nadmnozinou") |F| = q. Potom |F|=g^n pre vhodne n. Vid prednasky, pri algebraickych rozsireniach. To vhodne n je stupen rozsirenia [F:F`] 4. Charakterisitcke hodnoty a vektory pre maticu ( 4 9 0 ) ( 0 -2 8 ) ( 0 0 7 ) Vzhladom na to, ze matica je v trojuholnikovom tvare to bol fakt strasne lahky priklad. Na ustnej ale zas skusal dost teorie, ak chcel niekto jednotku, vacsinou dostal kvadraticke formy, vety co sme mali dostudovat z Prehladu modernej algebry. Na trojku vacsinou stacila tak normalne napisana pisomka a vediet definicie. Palo Sent: 18. januára 2000 18:47 Subject: Oprava - ALG 3. to rozsirenie je [Q(sqrt(8), 3+sqrt(50) : Q] --------------------------- PGP: redbull.dcs.fmph.uniba.sk/~hudecp/hudecp.txt Sent: 18. januára 2000 17:49 Subject: Algebra 18.1.2000 Boli klasicky 4 priklady, len ich trocha pozmenil 1. detrminant 1 x x^2 x^3 . . . . x^n a11 1 x x^2 . . . . x^(n-1) a21 a22 1 x . . . . x^(n-2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 an3 an4 . . . . 1 2. kvadraticka forma x1^2 - 2x2^2 + x3^3 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 3. najst stupen rozsirenia [Q(sqrt(8), 3 + sqrt(5) : Q] - vysledok : stupen rozsirenia je 2 4. transormacia matice zobrazenia matica zobr. (1 2 1) rel. (1, 0, 0) (2 1 3) (1, 1, 0) (3 0 1) (1, 1, 1) nova baza: (2, 0, 0), (-1, 1, 0), (1, -1, 1). HUDECOF PS. Dneska sa skoro vsetkych pytal na kvadraticke formy (hlavne to co sme si mali dostudovat), takze odporodporucam naucit sa to. --------------------------- PGP: redbull.dcs.fmph.uniba.sk/~hudecp/hudecp.txt Sent: 13. januára 2000 9:45 Subject: Algebra 13.1.2000 Zdar vospolok ! 1. Najdi charakteristicke hodnoty a vektory matice ( -1 2 2 ) ( 2 2 2 ) ( -3 -6 -6 ) [-3,-2,0; (-5,-2,0), (1,-1,1/2), (0,1,-1)] 2. Najdi kanonicky tvar f:5x^2+6xy+5y^2 [x^2+y^2;2x^2+8y^2(?)] 3. Ukaz, ze 2^(1/3)+4^(1/3) je algebraicke cislo. [polynom z Q:x^3-6x-6] 4. Vypocitaj determinant matice ( n -1 0 0 ... 0 0 ) (n-1 x -1 0 ... 0 0 ) (n-2 0 x -1 ... 0 0 ) ( . . . . . . ) ( 2 0 0 0 ... x -1 ) ( 1 0 0 0 ... 0 x ) Sent: 11. januára 2000 9:00 Subject: algebra 11.1.2000 Dnesna algebra: 1. upravte na kanonicky tvar nad oboma grupami: x1^2 + x2^2 + 3 x3^2 + 4 x1x2 + 2 x1x3 + 2 x2x3 (x1^2 - x2^2 + x3^2 a -x1^2 + (3+sqrt(2)) x2^2 + (3-sqrt(2))x3^2 ) 2. minimalny polynom prvku: 4^(1/3) + 8^(1/2) (x^6 -24 x^4 -8 x^3 + 192x^2 - 192x - 496) 3. determinant: | x+1 x x ... x | | x x+2 x ... x | | x x x+3 ... x | ... | x x x ... x+n| n ( (1 + x * suma(1/i)) * n! ) 1 4. dokaz: nech F'' nad F' nad F su polia. dokazte, ze [F'':F]=[F'':F']*[F':F] Bodo Sent: 6. januára 2000 10:48 Subject: Algebra pisomka 1.6.??00 Cafte All, 1. Vypocitaj determinant: | 1 2 n-1 | | 1 x x ... x | | 1 1 1 | | 1 2 n-1 | | 1 x x ... x | | 2 2 2 | | . . . . | | 1 2 n-1 | | 1 x x ... x | | n n n | 2. Pomocou Cramerovho pravidla rieste sustavu: ax1 + x2 + x3 = 1 x1 + ax2 + x3 = 1 x1 + ax2 + ax3 = 1 3. Najdite kanonicky tvar kvadratickej formy nad vseobecnou linearnou grupou a ortogonalno grupou 2 2 2 2x + 3x + 4x - 2x x + 4x x - 3x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 4. Najdite minimalny polynom cisla 5^(1/4) + 5^(1/2) Sent: 6. januára 2000 9:28 Subject: Algebra 6.1.2000 Ahojte!! Priklady z pisomky Sustavu ax+ y+ z = 1 x+ ay+ z = 1 x+ y+ az = 1 vypocitajte Cramerovym pravidlom. _____ ______ najdite min.polynom _ / _4_ / \/ 5 + \/ 5 Prevedte do kanonickeho tvaru 2 2 2 2x +3y + 4z - 2xy + 4xz - 3yz Vandermondov determinant (s. 114, Algebra a teoreticka aritmetika) vela stastia Peter Varsa Sent: 4. januára 2000 8:29 Subject: 4.1.1900 Algebra Tak stastny a novy...., dnes bola skuska z algebry dost lahka - 9:05 a jednotka v indexe pisomka: 1.) Dokazte (priamo dosadenim) ze kazda matica 2x2 je korenom svojho charakteristickeho polynomu. moje riesenie: prilis dlhe nez aby som ho tu rozpisoval, ked to budete niekto chciet tak pridte osobne na AD F85 2.) 5x1^2 + x2^2 + ax3^2 + 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3 Zistite pre ake hodnoty parametra a je kvadraticka forma kladne definitna moje riesenie: a>2 3.) Najdite polynom z racionalnymi koeficientami, ktoreho korenom je cislo sqrt(2)+sqrt(-3) moje riesenie bolo f(x)=x^4 + 2x^2 + 25 a nepovedal ze je to zle Ustna: vsetko co viem o determinantoch, ked som mal asi tretinu, tak mi to zobral a spytal sa na vetu o rozsireni F2 nad F ak pozname F2 nad F1 a F1 nad F majte sa, Roman