Priklady zo skusok -> matematicka analyza 2, Zbynek Kubacek, LS 2000 ==================================================================== 1. Suma(n=0 az oo) (-1)^n * (2*(n^2) + 1) * x^(2n) / (2n)! Spocitat. (vyjdu tam dake cosinusy a sinusy) 2. Zvysok Taylorovho polynomu 3. Raabeho kriterium Este jedna rada: strasne rad dava priklad typu: Dokazte, ze e^x = Suma(n=0 az oo) (x^n)/(n!). (konkretne to dostal Rosto, a dalsi chlapik nieco podobne) Ono je to sice zrejme z Maclaurina, ale je tam maly zadrhel a sice ze nie pre vsetky funkcie sa lava strana rovna pravej, Plati to len pre 'slusne' funkcie. Ako sa to dokazuje, sa spytajte Rosta (ze Rosto :-)) Zdravim Ivan Pilis Heslo dna:Kto odpisuje, dostane kozie kiahne ------------------------------------------------------------------------------- Caute lidi, tak toto som dostal dnes na ustnej: 1) Najdite maclaurinou rad funkcie g arcsin(2*x*sqrt(1-x*x)) 2) Vlastnosti integralu ako funkcie hornej hranice 3) Weierstrassovo kriterium rovnomernej kovergencie mam to za 2... caute a ucte sa... ------------------------------------------------------------------------------- Cafte ! Na ustnej som dostal taketo veci: 1. Najdi sucet radu oo -- \ (-1)^n(2*n^2+1)*x^(2n+1) / ------------------------ -- (2n)! n=0 (rozhodi sa to na dve sumy cez tu zatvorku a 2x (alebo raz) zintegruje (rad sa potom musi zderivovat) a vysledok je x*cosx(1-x/2)-x/2*sinx) 2. Newtonov-Leibnitzov vzorec 3. Spojitost suctu funkcionalneho radu Snad vam to pomoze (a ked nie, vedzte, ze ja som ho nezabil :-) cafte semo ------------------------------------------------------------------------------- Tkaze tuto to mate 1. Najst sucet radu Suma (n=0 po oo) (3^n*(n+1))/(n+2)! 2. 2 l'hopitalovo pravidlo 3. Prerovnanie absolutneho konvergentneho radu That's all folks stretneme sa v druhom rocniku. ------------------------------------------------------------------------------- Caute Kubacek mi dnes dal toto 1. Najst maclaurinov polinom a polomer konv.: _____ _ / 2| f(x)=x*arctgx-ln \/ 1+x 2. Nutna a postacujuca podmienka pre rozdiel f-T, aby polynom T bol Taylorov polynom fcie f 3. Leibnitzovo kriterium konvergencie ciselnych radov Mam to vdaka PANU BOHU za 2. Tym co to este nemaju zelam vela stastia a tym ktorym este niejake skusky chybaju (teda aj mne) zelam nech, ich spravia :-). Caute Martin ------------------------------------------------------------------------------- Sorry, ze pisem az teraz, ale lepsie neskoro ako nikdy: 1.Najst sucet radu: Suma (n=0..oo) 3^n(n+1)/((n+2)!) * x^(2n) 2.Newton-Leibniz 3.Abelovo a Dirichletovo kriterium pre ciselne rady Dufam, ze to este niekomu pomoze. ------------------------------------------------------------------------------- Toto som dostal na ustnej: 1. Najdite Mclaurinov rad funkcie x.ln(x+sqrt(1+x^2)) a urcte jeho polomer konvergencie (v podstate sa to zderivuje jeden clen sa uz da napisat ako rad a druhy sa este raz zderivuje potom sa to cele! zintegruje a spise dokopy ufff) -polomer konvergencie sa najde pomocou d'alamberta 2. Leibnizovo kriterium 3. Integral ako funkcia hornej hranice May the force be with you a tesim sa na stretnutie v 2.rocniku :-) ------------------------------------------------------------------------------- Tak totot som nezvladol: 1. Najst Mclaurinov rad funkcie x.arctg x - ln(sqrt(1+ x^2)) a jeho polomer konvergencie 2. 2.L'Hospitalovo pravidlo 3. Integralne kriterium konvergencie ciselnych radov Ak to uz vsetci mate za sebou, tak len pre archivaciu. Ak nie, tak vela stastia. - Marec - ------------------------------------------------------------------------------- Tak teraz som to uz vedel: 1. Najst sucet radu Suma n=0..oo (((-1)^n * n) / (n+1)!) * x^(2n+1) 2. Nutna a postacujuca podmienka R-integrovatelnosti vyjadrena opmocou oscilacie funkcie. 3. Postacujuce podmienky spojitosti suctu funkcionalneho radu. Good luck! - Marec - ------------------------------------------------------------------------------- 1. Najst sucet radu oo n 2 _ (-1) (2n +1) 2n \ -------------- x /_ (2n)! n=0 2. 2. L'Hospitalovo pravidlo 3. Prerovnanie relativne konvergentneho radu skusim v juli... btw: uz su nove terminy na opravne - 2. julovy tyzden zelam viac stastia a hlavne viac vedomosti ako som mal ja! netvor ------------------------------------------------------------------------------- 1, Najst sucet radu suma(n=0..oo) (((-1)^n)*n)/(2n)! 2, Vlastnosti integralu ako funkcie hornej hranice 3, Porovnavacie kriteria pre konvergenciu ciselnych radov Riesenie 1, =1/2*suma(n=1..oo) (((-1)^n)*2n*x^(2n-1))/(2n)! , sumu oznacim ako s, zderivujem s, vykratim 2n, ziskam krasny rad pre cos x suma(0..oo) (((-1)^n)*x^(2n))/(2n)! ,zderivujem ho, este vynasobim 1/2,vyjde to (-sin x)/2 = (-sin 1)/2. Este detail:tu sumu treba zmenit z n=0..oo na 1..oo, inak by mohlo byt 2n-1<0 "Noo,je to skuor k dvojke,ale dam vam jedna na povzbudenie do dalsich bojov..." Podobne prijemne priklady a uspesne dokoncenie skusok vam praje Miso ------------------------------------------------------------------------------- Zdrawim .. Ja som neska vzdal .. bo sa mi necelo byt dokopanym :))) :( Zbynek bol mily a dal mi taketo jednoduche veci: 1. Najst sucet radu oo --- n 2 \ (-1) (2n + 1) / -------------- --- (2n)! n=0 2. Zvysok Tylorovho polynomu (napisal som Cauchyho a Lagr. nevem ci xcel este njeco +) 3. Integrovatelnost suctu funkcionalneho radu. ---------------------------------------------------------- piiiif:"a to uz viacej nemate ?" "ja by som radsej nabuduce .." "no ako chcete .. :)" ":(, dovidenia" Yo a teraz info ... : na zvycajnom mieste na dverach sa nachadzaju dalsie terminy skusok : od 10.7 - 14.7 o 9:00 (zraz pri automate na kavu) blizsie info -> IRL na dverach .. jej prave som docital majly a je tam od kubacka info co som popisal, ale ja to mazat uz nebudem .. :)) Wol. (stretneme sa desiateho) PS: Nema njedo dobre poznamky/skripta ?? ------------------------------------------------------------------------------- matalyza ustna 27.6.2000 Zbynek Kubacek 1.Dokazte rovnost sin(x)=suma[n=0..oo](-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)! 2.Horny integral ako limita hornych integralnych suctov 3.Spojitost funkcionalneho radu. Vela stastia.(ale radsej vedomosti...) ------------------------------------------------------------------------------- Mozno este niekoho bude zaujimat nejaky ten priklad z matalyzi, tak tu je: Pomocou zvysku Maclaurinovho polynomu treba dokazat rovnost: cos x = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n * x^{2n} / ((2n)!)} inymi slovami cos x je rovny svojmu maclaurinovmu radu. Hint: S_n je Maclaurinov polynom bez zvysku, treba ukazat, ze zvysok ide do nuly. Napise sa v Lagrangeovom tvare, a robi sa pre nejake pevne x. Odhadne sa to zhora (|x|^{n+1} / (n+1)!) a ukaze sa ta lim toho pre n do nekonecna je nulova. Mozno to napisat aj ako rad(ciselny) a ten sa dokaze cez d'Alamberta. Dufam ze to niektorym este pomoze. ----- Tomas ------------------------------------------------------------------------------- Toto si na mna Zbynek vymyslel: 1. Najst McLaurenov rad x*arctg(2x^2) 2. Zvysok Taylorovho polynomu (Cauchy + Lagrange) 3. Raabeho kriterium riesenie: arctg(2x^2) sa zderivuje, vyjde 4x*(1/(1+4x^4)), co je 4x*Suma[0..oo](-4x^4)^n = Suma[0..oo](-1)^n*4^(4n+1)*x^(4n+1) teda arctg(2x^2) je integral z tejto sumy --^ a vyjde Suma[0..oo](-1)^n*4^(4n+1)/(4n+2)*x^(4n+2) kedze hladame x*arctg(2x^2), tak tam to x vsunieme a vyjde nam oo 4n+1 --- n 4 4n+3 \ (-1) ---- x , co je hladany McLaurenov rad /__ 4n+2 n=0 Prajem vsetkym, ktory sa docitali az sem uspesne zvladnutie skusky a tesim sa na stretnutie v 2. rocniku!!! Dufam, ze toto pomoze. netvor ------------------------------------------------------------------------------- Maxim, 17:35:11 6. august 2000 (nedela) Zdar! :) Takze som sa opat raz pokusal znacne si zjednodusit ucenie na moju poslednu skusku z Matalyzy vyextraktovanim uzitocnych informacii zo vsetkych mailov ohladne MA, ktore do konfery prisli. To aby som zistil, ze ci nahodou Kubacek nedava tie otazky podla nejakeho systemu... Ked sa na to zadivame, zistime, ze jeho oblubene temy su: - 2. l'Hospitalovo pravidlo - zvysok Taylorovho polynomu - Newton-Leibnitzov vzorec - atd... No ale system v tom aj tak nevidim... :( Vsak posudte sami... tu to mate, dufam, ze Vam to niektorym nepreplni mailbox... :) S pozdravom =Nepto= -------------------------------------------------------------------- 1. Najst McLaurenov rad x*arctg(2x^2) 2. Zvysok Taylorovho polynomu (Cauchy + Lagrange) 3. Raabeho kriterium -------------------------------------------------------------------- Pomocou zvysku Maclaurinovho polynomu treba dokazat rovnost: cos x = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n * x^{2n} / ((2n)!)} inymi slovami cos x je rovny svojmu maclaurinovmu radu. -------------------------------------------------------------------- 1.Dokazte rovnost sin(x)=suma[n=0..oo](-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)! 2.Horny integral ako limita hornych integralnych suctov 3.Spojitost funkcionalneho radu. -------------------------------------------------------------------- 1. Najst sucet radu oo --- n 2 \ (-1) (2n + 1) / -------------- --- (2n)! n=0 2. Zvysok Tylorovho polynomu (napisal som Cauchyho a Lagr. nevem ci xcel este njeco +) 3. Integrovatelnost suctu funkcionalneho radu. -------------------------------------------------------------------- 1, Najst sucet radu suma(n=0..oo) (((-1)^n)*n)/(2n)! 2, Vlastnosti integralu ako funkcie hornej hranice 3, Porovnavacie kriteria pre konvergenciu ciselnych radov -------------------------------------------------------------------- 1. Najst sucet radu oo n 2 _ (-1) (2n +1) 2n \ -------------- x /_ (2n)! n=0 2. 2. L'Hospitalovo pravidlo 3. Prerovnanie relativne konvergentneho radu -------------------------------------------------------------------- 1. Najst sucet radu Suma n=0..oo (((-1)^n * n) / (n+1)!) * x^(2n+1) 2. Nutna a postacujuca podmienka R-integrovatelnosti vyjadrena opmocou oscilacie funkcie. 3. Postacujuce podmienky spojitosti suctu funkcionalneho radu. -------------------------------------------------------------------- 1. Najst Mclaurinov rad funkcie x.arctg x - ln(sqrt(1+ x^2)) a jeho polomer konvergencie 2. 2.L'Hospitalovo pravidlo 3. Integralne kriterium konvergencie ciselnych radov -------------------------------------------------------------------- 1. Najdite Mclaurinov rad funkcie x.ln(x+sqrt(1+x^2)) a urcte jeho polomer konvergencie 2. Leibnizovo kriterium 3. Integral ako funkcia hornej hranice -------------------------------------------------------------------- 1.Nájsť súčet radu suma[n=1..oo](-1)^n*(n+1)/(2n+1)! 2.Newton-Leibnitzov vzorec 3.Postačujúce podmienky diferencovateľnosti súčtu funkcionálneho radu -------------------------------------------------------------------- 1.Najst sucet radu: Suma (n=0..oo) 3^n(n+1)/((n+2)!) * x^(2n) 2.Newton-Leibniz 3.Abelovo a Dirichletovo kriterium pre ciselne rady -------------------------------------------------------------------- 1. Najst maclaurinov polinom a polomer konv.: _____ _ / 2| f(x)=x*arctgx-ln \/ 1+x 2. Nutna a postacujuca podmienka pre rozdiel f-T, aby polynom T bol Taylorov polynom fcie f 3. Leibnitzovo kriterium konvergencie ciselnych radov -------------------------------------------------------------------- 1. Najst sucet radu Suma (n=0 po oo) (3^n*(n+1))/(n+2)! 2. 2 l'hopitalovo pravidlo 3. Prerovnanie absolutneho konvergentneho radu -------------------------------------------------------------------- 1. Suma(n=0 az oo) (-1)^n * (2*(n^2) + 1) * x^(2n) / (2n)! Spocitat. (vyjdu tam dake cosinusy a sinusy) 2. Zvysok Taylorovho polynomu 3. Raabeho kriterium -------------------------------------------------------------------- __________________________________________________________________________