Zadania úloh z numerickej matematiky
Všeobecné pokyny
Každý poslucháč si v priebehu semestra vyberie jednu zo zadaných tématických úloh tak, aby počet prihlásených na jednu tému súhlasil s počtom uvedeným pod každou témou v zátvorke. Prihlásení poslucháči vytvoria pracovné skupiny po 2 resp. viac poslucháčov podľa náročnosti vybranej témy. Ak sú za témou uvedené 2 čísla v zátvorkách pôjde o dve skupiny, ktoré vytvoria konkurenčný projekt.
Vytvorené programové projekty majú obsahovať:
Menu :
Ponuku metód
Ponuku možností poskytovaných programom
Súčasťou menu bude aj možnosť výpisu súboru s dokumentáciou programu, ktorá by mala obsahovať všetky informácie potrebné k tomu, aby programy boli použiteľné aj pre tých, ktorí program nevytvorili a neodladili. Súčasťou dokumentácie bude aj úplná informácia o spustení programu, popis vstupných a výstupných parametrov a pod.
Podľa povahy úlohy, ak je to vhodné ponúknuť aj možnosť grafického zobrazenia.
Programy a metódy ilustrovať na viacerých vhodných príkladoch zadaných priamo tvorcami programov buď vo forme podprogramov, vstupných súborov alebo iným vhodným spôsobom. Zapracovať aj možnosť použitia programu na úlohy zadané používateľom v tvare podprogramov, súborov a pod.
Programy a ich časti treba vhodne doplniť komentármi.
Zadanie úloh na vypracovanie programov z numerickej matematiky
Stabilita a podmienenosť
Vypracujte a odlaďte programy na ilustráciu stability a podmienenosti úloh a algoritmov podľa teórie a príkladov analyzovaných v publikácii Stanislav Míka: Numerické metódy algebry (str. 8-47).
(3)
Napíšte a odlaďte programy pre:
Hornerov algoritmus pre výpočet hodnoty polynómu
Opakovaný Hornerov algoritmus
Iteračný algoritmus pre výpočet √a
Iteračný algoritmus pre výpočet n√a
Ilustráciu numerických aspektov rekurentných formúl:
Spočítať vopred zadaný počet členov pomocou :
rekurentnej formuly
presného riešenie pre zadané n.
(2)
Ćebyševove polynómy
Vytvorte a odlaďte program pre ilustráciu vlastností a chovania Čebyševových polynómov definovaných na intervale <-1,1>. Program má obsahovať generovanie polynómov z rekuretného vzťahu, vykreslenie grafov polynómov stupňov : 0,1,...,n pre vopred zvolené n. Grafy normalizovaných polynómov. Výpočet koreňov, bodov v ktorých nadobúda polynóm n-tého stupňa extrémy. Hodnoty extrémov normalizovaného polynómu n -tého stupňa . Podobne pre tzv. posunuté (transformované) Čebyševove polynómy na interval <a,b> .
Literatúra: Míka: Numerické metódy algebry
Fillová, Valková: Numerické metódy II. (UK Bratislava 1991).
(2)
Gaussova eliminácia a jej modifikácie
Vytvorte program pre Gaussovu eliminačnú metódu:
Bez výberu hlavného prvku - kontrolovať multiplikátory, ak to budú veľké čísla upozorniť na pravdepodobnú potrebu pivotizácie a pravdepodobnú nespoľahlivosť výsledku. Ilustrujte na vhodných príkladoch.
GEMPS - GEM pivot stĺpcový.
Odhad čísla podmienenosti. (Míka: Numerické metódy algebry str. 39 a str. 99 -101).
LU rozklad matice a riešenie sústavy rovníc LU rozkladom.
(2)
Míka: Numerické metódy algebry, prednášky resp. cvičenia.
Riešenie sústav lineárnych rovníc iteračnými metódami
Vytvorte a odlaďte programy a ilustrujte jednotlivé metódy na vhodne zvolených príkladoch
Výpočet noriem vektorov a matíc
Kritériá konvergencie (riadkové a stĺpcové)
Jacobiho iteračná metóda
Gaussova -Seidelova iteračná metóda
Zrýchlenie konvergencie iteračného procesu - Aitkenovo urýchlenie
Relaxačná a superrelaxačná metóda .
Literatúra: Míka: Numerické metódy algebry
Ralston: Základy numerické matematiky,
Babušíková, Slodička, Weisz: Numerické metódy.
(3)
Korene polynómov I
Ohraničenie koreňov
Graf polynómu
Metóda sečien pre polynómy
Zníženie stupňa polynómu Hornerovou schémou. Ukážky nestability metódy pri nedodržaní vhodného postupu (Mikloško: str. 168).
Newtonova metóda pre jednoduché korene, násobné korene, komplexné korene.
Laguerrova metóda - Míka s. 151 chyba vo vzorci pre výpočet xk+1 v menovateli miesto P(x k) má byť P'(x k).
Literatúra: Míka: Numerické metódy algebry
Ralston: Základy numerické matematiky
Mikloško: Syntéza a analýza efektívnych numerických algoritmov
Demidovič, Maron: Základy numerické matematiky alebo original v ruštine.
(3)
7. Korene polynómov II
Ohraničenie koreňov
Graf polynómu
Odstránenie násobných koreňov polynómu ( NSD Pn (x) a P n'(x) ).
Bairstowova metóda
Literatúra: Míka: Numerické metódy algebry
Ralston: Základy numerické matematiky.
(4) + (4)
8. Korene transcendentných rovníc
Štartovacie metódy:
Graf funkcie
Prostá iterácia aj možnosť voľby urýchlenia Aitkenovou extrapolačnou formulou
Bisekcia
Regula falsi
Spresňujúce metódy:
Newtonova metóda pre jednoduché a násobné korene
Metóda sečien
Mullerova metóda
Steffensenova metóda
Literatúra: Míka: Numerické metódy algebry
Ralston: Základy numerické matematiky.
(4)
Interpolácia
Funkcia zadaná diskrétne alebo analyticky:
Newtonova interpolácia pre :
jednoduché uzly
násobné uzly
Výstup v analytickej, číselnej i grafickej forme.
Nevillova interpolácia - výpočet, tabuľka, graf.
Funkcia zadaná analyticky:
Newtonova interpolácia:
Uzly:
ekvidištančné
neekvidištančné:
Čebyševove .
Iné.
Požadované výstupy:
Výstup interpolačného polynómu.
Graf interpolovanej aj interpolujúcej funkcie.
Graf chybovej funkcie
Vytlačenie tabuľky chýb v stredoch intervalov medzi susednými interpolačnými uzlami.
Výpočet hodnoty interpolujúcej funkcie pre zadanú hodnotu argumentu x.
Literatúra: Fillová, Valková : Numerická matematika II, Přikryl: Numerické metody matematické
analýzy. Ralston: Základy numerické matematiky. Prednášky.
(4)
Splajny pre funkcie zadané analyticky alebo diskrétne.
Aproximácia pomocou lineárnych B - splajnov.
Aproximácia pomocou kubických splajnov - prirodzených
iných.
Pre vyššie uvedené prípady spracovať:
Výpočet a tlač koeficientov splajnu.
Vzorec pre splajn
Graf funkcie resp. bodov + graf splajnu - farebne odlíšiť.
Graf chybovej funkcie pre funkciu zadanú analyticky.
Tlač tabuľky chýb.
Výpočet hodnoty splajnu pre zadanú hodnotu argumentu x.
Aproximácia derivácie funkcie pomocou derivácie prirodzeného kubického splajnu.
Aproximácia určitého integrálu funkcie pomocou integrálu prirodzeného kubického splajnu.
Literatúra: Fillová, Valková : Numerická matematika II, Přikryl: Numerické metody matematické
analýzy. Prednášky.
(2) + (2)
Aproximácia metódou najmenšieho súčtu štvorcov pre diskrétny i spojitý prípad s využitím ortogonálnych polynómov.
Literatúra: Přikryl: Numerické metody matematické analýzy. Prednášky.
(2) + (2)
Riešenie sústav nelineárnych rovníc
Metóda prostej iterácie
Newtonova metóda
Literatúra: Míka: Numerické metody algebry.
Prednášky (2)
13. Numerická derivácia a Richardsonova extrapolácia
Aproximácia derivácie pomocou diferenčných vzorcov a ilustrácia rádu presnosti diferenčných vzorcov na vhodne zvolených príkladoch + možnosť ilustrácie na používateľom zvolených príkladoch.
Aproximácia derivácie pomocou Richardsonovej extrapolácie - výstup vo forme tabuľky.
Aproximácia derivácie pomocou derivácie splajn funkcie.
Literatúra: Fillová, Valková: Numerické metódy II , Přikryl: Num. Met. Matematické analýzy, prednášky
(3)
Numerický výpočet určitého integrálu
Zložené lichobežníkové pravidlo
Zložené opravené lichobežníkové pravidlo
Zložené Simpsonovo pravidlo
Zložené 3/8 pravidlo
Rombergova kvadratúra - tabuľka + výstup výsledku.
Literatúra: Fillová, Valková: Numerické metódy II, Přikryl: Numerické metody matematické analýzy.
Ralston: Základy numerické matematiky
(2) + (2)
Gaussove kvadratúry
Gaussove - Legendreove kvadratúry pre dostatočne veľký počet uzlov.
Gaussove - Laguerrove kvadratúry
Gaussove - Čebyševove kvadratúry
Gaussove - Hermitove kvadratúry
Literatúra: Ralston: Základy numerické matematiky
Fillová, Valková: Numerické metódy II, Přikryl: Numerické metody matematické analýzy.
(3) + (3)
Numerický výpočet určitého integrálu
Literatúra: K. Hrubina, J. Majerčák, J.Boržíková :Riešené úlohy algoritmami numerických metód s podporou počítača str. 137-153.
(3)
Riešenie sústav nelineárnych rovníc
Literatúra: K. Hrubina, J. Majerčák, J.Boržíková :Riešené úlohy algoritmami numerických metód s podporou počítača str. 118 -136. (4)
18. Metóda najmenšieho súčtu štvorcov
Literatúra: K. Hrubina, J. Majerčák, J.Boržíková :Riešené úlohy algoritmami numerických metód s podporou počítača str. 49-57, 62-63
(2)
19. Metóda najmenšieho súčtu štvorcov
Literatúra : Dávid: Numerické metódy na osobnom počítači str. 78-100.
(4)
Iteračné metódy riešenia systémov lineárnych rovníc , normy vektorov a matíc, dominantnosť matice a pod.
Literatúra: K. Hrubina, J. Majerčák, J.Boržíková :Riešené úlohy algoritmami numerických metód s podporou počítača str. 105-117.
(2)
21. Výber empirického vzorca s použitím vyrovnávania metódou najmenšieho súčtu štvorcov
Literatúra : Bronštejn, Semenďajev : Príručka matematiky pre inžinierov a študujúcich na vysokých školách technických.
A. Dávid : Programy pre malé kalkulátory
Prednášky
(2)
CORDIC algoritmus.
Prednášky
(2) + (2)
Implementácia výpočtu druhej odmocniny.
Výpočet n- tej odmocniny pomocou Newtonovho vzorca.
Prednášky
(3) + (3)
Stabilita algoritmov. Podmienenosť úloh a algoritmov. Ilustrácia na príkladoch.
Literatúra: Míka: Numerické metódy algebry str. 36-44.
(2)
25. Prepracovanie programov z Maple V3 do Delfi podľa dohody s prednášajúcou
(10)
26. Prepracovanie programov z Maple V3 do C++ podľa dohody s prednášajúcou
(10)