Ahojte, napokon som sa predsalen rozhodla podelit sa s Vami o dojmy z pravdepodobnosti. Totiz nie je velmi co nove pisat. Kazdy dostane sadu 4 rukou pisanych prikladov, ktore su na to iste kopyto ako tie poslane mejlom. Aspon moja sada sa napadne podobala. Ked to odovzdate, on Vam to skontroluje, povie, co a ako a da Vam (tentoraz uz tlacene) dalsie zadania teoretickych uloh. Tych je 5 a dokazy chce len tam, kde je to napisane. Takze je to svojim sposobom dost velka pisacka. Neviem, ci uz niekto pisal tieto teoreticke zadania, ak nie, tak tu su moje: 1. Dvojrozm. nah. prem. - def., distrib., rozdelenie, hustota. 2. Korelacny koef. - def., dokazte, ze ked Y=aX+b, tak roXY = +-1 3. Odvodte vzorec pre regresnu priamku. 4. Definujte chybu 1. a 2. druhu. 5. Testujte hypotezu H0: mi1=mi2 proti H1: mi1!=mi2 ------------------------------------------------------------------- Ahojte spoluziaci, idem vas obstastnit mojimi zazitkami zo skusky u uja Lamosa. Skuska pozostava z prikladov (casu max. 1.5 hod) a teorie, ktoru moze robit len ten, kto nema priklady uplne blbo. Teoria je dalsia min. hodina pisania kalerabov, ktore si ujo Lamos pozrie, a ak tam vidi nejake standardne obrazky, vzorceky a pismenka, vyhlasi ju za OK. Ak su tam nestandardne pismenka, je to horsie.. Priklady: 1. Vyberame 5 kariet zo sedmoveho balicka, aka je pravepodobnost, ze piate bude eso? Kto si mysli, ze 1/8, hlboko sa myli. Spravna odpoved totiz pocita s tym, ze prve styri NEBOLI esa. Domyslite si zadanie.. 2. nepamatam, nieco jednoduche 3. Bateria ma dobu zivotnosti s gaussovskym rozdelenim, \mi = 300, \sigma=35. Spocitaj pravd. ze bude fungovat aspon 320 hodin. 4. Danych nejakych 32 nameranych hodnot, urcite interval spolahlivosti 99% pre \mi, ak predpokladate gaussovske rozdelenie. Teoria: 1. Marginalne pravdepodobnosti a vsetko okolo 2. Co to je koef. korelacie \rho_{X,Y}, dokaz, ze ak su X a Y lin. zavisle, t.j. Y = aX+b, tak \rho = +-1 3. Metoda najmensich stvorcov 4. Def. chyby 1. a 2. druhu 5. Testovanie hypotezy \mi_1 = mi_2 pri gauss. rozdeleni a kedze som mal zle prvy priklad! a navyse som si dovolil nejake nestandardne oznacenia a vzorceky (o ich spravnosti som presvedceny, ale bohuzial Lamosa sa presviedca veelmi tazko), musel som mu este napisat nieco navyse: 1. klasicka, geometricka a axiomaticka def. pravdepodobnosti 2. co to je podmienena pravdepodobnost, Bayesove vety (dve) Spolu som zapisal asi 8 pomerne hustych stran a4, z coho za dve moze moja vlastna blbost a nafukanost a tych zvysnych 6 sa mozno dalo napisat aj na 5. Skusku som dostal, ale za cenu toho, ze som zapisal viac, ako za mesiac Lamosovych prednasok, z coho ma krc v pravej ruke este neopustil.. :-) stastne Vianoce a vesele skuskove obdobie zela palenica ------------------------------------------------------------------- Prakticke priklady : 1. Bolo treba overit hypotezu o rovnosti strednych hodnot pre system dvojic (x1,y1),(x2,y2), ... (xn,yn) pre konkretne hodnoty xi,yi. Bolo treba pouzit St. rozdelenie a vyratat t0 a porovat s t(1-alfa/2) pre n1+n2-2 stupnami volnosti.Rozhodnut o prijati alebo zamietnuti.... 2. Vypocitat korelaciu pre dane hodnoty (x1,y1),....(xn,yn). Podla vzorca na poslednej prednaske... 3. Dane X ma rodelenie (0,1).Mam vypocitat hustotu pre fciu a, y=x~(1/3) b, y=e~x 4. Mame 5000 vyrobkov. pravdep. chyby vyrobku je p=.0002 Aka je praavdepodobnost ze budu 3 vyrobky chybne. 2. cast : 1. Definicia klasickej, axiomatickej a geometrickej pravd. 2. Definovat Normalne rozdelenie a odvodit E(x) a D(x) 3. Pomocou Metody Max. vierohodnosti urcit parameter lambda pre poisonovo rozdelenie. 4. Odvodit int. spolahlivosti pre rodiel mi1-mi2. 5. Napisat postup pri overovani Hypotezy H0:(mi=mi0) proti H1:(mi<>mi0) Pozn : Ak sa v priklade 4 alebo 5 rozhodujete aku statistiku pouzit ak je zname sigma alebo nie tak napisat obe metody :) On to vyzaduje !!!! Inak vsetko bolo fajn, v praktickej casti je mozno si vypytat tabulky a overit si vzorce ak sa ho nato spytate. V celku bola pohoda, opisovat sa velmi neda ale proti gustu ziaden disputat..... ------------------------------------------------------------------- Nazdar mladenci a dievcence! Vyuzijem tuto prilezitost na zazelanie vsetkeho dobreho v novom roku, nech sa vam vsetkym teda dari ... Inac som sa uz vratil a zacinam robit skusky, ako prva sa poddala pravdepodobnost a statistika, vcelku hladko ... K prikladom toho moc nemam, lebo som ich uz niekde predtym cital, prakticke boli tie s Poissonovym rozdelenim, k tomu by som povedal, ze som si myslel, ze je definovane len pre kladne cisla, a ono je aj pre nulu, tak som mal hned malu minusku ... Teoria bola s korelacnym koef a regresiou, asi to iste, co na predtermine ... Snad sa z toho da cosi usudit ... Takze vcelku dost onicovate, Rado ------------------------------------------------------------------- Pre vsetkych, ktory nemaju skusku z PAS posielam svoju sadu prikladov: Prakticka cast: 1. Na 50 vyrobkov pripada 6 nepodarkov. Vyberieme nahodne 5 vyrobkov. Najdite rozdelenie pravdepodobnosti, a odvodte E(X). 2. X/Y| -1 0 1 Bola dana tabulka rozdelenia pravdepodobnosti -- |--------- a mal som urcit 0 | ... - kovarianciu 1 | - koeficient korelacie - zopar dalsich momentov 3. Hadzeme dvoma kockami. Nech A znamena, ze sucet je parny, B - sucet je najviac rovny 7, C - aspon na jednej kocke padla 2. Vypocitajte P(A U B U C). 4. f(x) = / kx, x patri (0,1) \ 0 , inak Bolo treba vyratat k, E(X), D(X) a pre zmenu opat zopar momentov. Teoreticka cast: 1. Korelacia a vsetko okolo + Y = ax + b => ro = +-1 2. Odvodit a, b pre regresnu priamku 3. Dvojrozmerna nahodna premenna, marginalne rozdelenia (definovat F(X), f(X) atd.) 4. Chyba 1. a 2. druhu. 5. Overenie hypotezy mi1 = mi2. Na zaver mozem povedat, ze v tejto kombinacii je momentov vyse hlavy a preto doporucujem, aby ste sa na ne dobre pozreli. S pozdravom maRek. ------------------------------------------------------------------- Caute. Skuska z PaS prebehla hladko, teoreticke priklady som mal v podstate tie iste ako Marek. Priklady ('prakticke') boli jednoduche, t.j. 1. Cosi na pouzitie vety o uplnej pravdepodobnosti (extremne triv.) 2. Mame hustotu pravdepodobnosti f(x) = kx, ak x \in (0,1), 0, inak Najst hodnotu k, vypocitat E(X), D(X), \sigma_X, \nu_3, \nu_4 a este cosi, ale neviem co. 3. Nejaky priklad na testovanie hypotezy o rovnosti \mu=\mu_0. 4. Najst obojstranny interval spolahlivosti pre (uz neviem)... ---- Cela skuska bola skutocne veget (Lamosa sa mozete spytat, ak nieco neviete). Hint1: Radim vam radsej nepodvadzat, aj tak tym nic neziskate... Hint2: Lamos kontroluje v teorii najmae vzorce, a tak ked uz nestihate pisat texty, tak piste aspon tie. r. ------------------------------------------------------------------- 1. fx=x^3+ax na (0,1) pod tym 0 nad tym 1 urci a e(x) p(1/2 < x < 2) 2. y=e^x hustota y 3. konfidencny interval pre sigma^2 4. testujte mi=50 1. definicie pravdepodobnosti 2. normalne rozdelenie, definicia e(x),d(x) 3. konfidencny interval pre nezname mi1-mi2 4. postup testovania h0: mi=mi0 vs. != 5. maximalizaciou urcit odhad lambda pri poissonovi ------------------------------------------------------------------- Ahojte, prave som (ako prvy) vyliezol od kamosa Lamosa. TU su moje priklady: (Prakticka cast) 1. Zistite rozdelenie pravdepodobnosti pre sucet dvoch hodenych kociek (t.j. 1 az 12), znazornite graficky distribucnu fciu. 2. Mate dane rozdelenie pravdepodobnosti (X,Y), mate zistit E(X), E(Y), D(X), D(Y), cov(X,Y), r_X,Y. 3. Uz neviem... 4. Mate danu hustotu f(x)=... (normalne normovane rozdelenie), nech Y=aX+b, urcit hustotu h(y) pre Y. 5. Mate testovat hypotezu H_0: (mi_1=mi_2) proti (mi_1!=mi_2), alfa=0.05 ci co, zadane boli x_1,...,x_5, y_1,...,y_7. 1. Klasicka, geometricka, axiomatricka def. pravdepodobnosti. 2. Zadefinujte normalne rozdelenie, odvodte E(X), D(X). 3. Metodou maximalnej vierohodnosti urcite parameter lambda pre Poissonove rozdelenie. 4. Postup pri testovani H_0: (mi=mi_0) proti H_0: (mi!=mi_0). Kedze som mu teoriu odovzdal za nejakych 30 minut, stihol to este za pisania ostatnych okontrolovat (aj priklady), takze som nemusel cakat. Ak teda mate teoriu hotovu skor, oplati sa to odovzdat, on to skontroluje skor. U kamosa Lamosa sa da, aj ked sa vyskytli nejake num. chyby, tak to bral s rezervou... Majte sa a v dalsom skuskovom lovu zdar! :) K.R.