Prednášajúci: Prof. V. Kvasnička {kvasnic@cvt.stuba.sk}a Doc. J. Pospíchal {pospich@cvt.stuba.sk}

Katedra matematiky CHTF STU,

Semester: zimný

Rozsah: 2-0-0

1. Základné pojmy evolučných algoritmov – optimalizačný problém a jeho kódovanie, binárna reprezentácia reálnej premennej, transformácia spojitého optimalizačného problému na binárny optimalizačný problém.
2. Horolezecké (hill climbing) algoritmy – elementárne stochastické optimalizačné algoritmy, slepý algoritmus a horolezecký algoritmus, horolezecký algoritmus s učením, metóda zakázaného hľadania (tabu search), evolučné programovanie.
3. Genetický algoritmus – darvinovská evolúcia v živej prírode, základné pojmy, populácia a sila (fitness) chromozómov, kríženie chromozómov, implementácia genetického algoritmu, teória genetického algoritmu, Hammingova bariéra, ”messy” chromozómy, paralelná implementácia genetického algoritmu.
4. Genetické programovanie – základné pojmy z teórie grafov, koreňové stromy a Readov kód, symbolická regresia, rekonštrukcia stromov s požadovanými vlastnosťami, kódovanie funkcií pomocou acyklických orientovaných grafov.
5. Simulované žíhanie – základné pojmy, vzťah k štatistickej fyzike, paralelná implementácia.
6. Kombinatoriálne optimalizačné problémy – klasifikácia, základné úlohy z teórie grafov a operačného výskumu, špecifikácie operátorov mutácie a kríženia pre kombinatoriálne optimalizačné problémy.
7. Evolučné stratégie – historické poznámky, stratégia (1+1) - jeden rodič a jeden potomok, distribúcia pravdepodobnosti, generovanie náhodných čísel, viacčlenné stratégie a kovariancie, súvislosti s evolučným programovaním.
8. Neurónové siete – klasifikácia neurónových sietí, neurónové siete s dopredným šírením, rekurentné neurónové siete, parametrická adaptácia neurónových sietí pomocou gradientovej optimalizačnej metódy, adaptácia neurónových sietí ako stochastický optimalizačný problém, štrukturálna adaptácia neurónových sietí pomocou evolučných algoritmov.
9. Umelý život – definície života a umelého života, umelá inteligencia a multiagentové systémy, kognitívne aparáty agentov, darvinovská evolúcia multiagentových systémov, emergencia kooperatívnych vlastnosti. Celulárne automaty, evolúcia pravidiel, vznik komplexných javov. Kooperácia, súťaženie, altruizmus, dilema väzňov a tragédia spoločného. Emergencia zložitosti, vznik života evolúciou neživého.
10. DNA výpočty – základné pojmy z molekulovej biológie, štruktúra a vlastnosti DNA, teoretické modely výpočtového procesu, experiment L. Adlemana s hľadaním hamiltónovskej cesty v orientovanom grafe pomocou DNA, DNA počítače in vivo.

Literatúra:

1. V. Kvasnička, J.Pospíchal a P. Tiňo: Evolučné algoritmy, STU Bratislava 2000..
2. T. Bäck: Evolutionary Algorithms in Theory and Practice - Evolutionary Strategies, Evolutionary Programming, Genetic Algorithms. Oxford University Press, Oxford, UK, 1996.
3. Z. Michaliewicz: Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs. Springer Verlag, Berlin, 1992.
4. W. Banzhaf, P. Nordin, R. E. Keller, and F. D. Francone: Genetic Programming – An Introduction. Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco, 1998.

Charles Darwin "On the Origin of Species" (doc)

http://www.mkp.com/books_catalog/1-55860-605-x.asp

text kapitoly pdf.

Tutoriál od Prof. Hans-Paul Schwefel "On Natural Life's Tricks to Survive and Evolve"

(pdf alebo ps.zip)

Tutorial od Prof. John Koza (University of Stanford) "Genetic Programming: Biologically Inspired Computation that Creatively Solves Non-Trivial Problems" (pdf)

 Tutorial od Prof. Darrell Whitley "A Genetic Algorithm Tutorial" (pdf)

Kapitola 1- Úvodné poznámky (ps.zip alebo pdf)

Kapitola 2 - Základné pojmy evolučných algoritmov (ps.zip alebo pdf)

Kapitola 3 - Horolezecké algoritmy (ps.zip alebo pdf)

Kapitola 4 - Genetické algoritmy (ps.zip alebo pdf)

Kapitola 5 - Genetické programovanie (ps.zip alebo pdf)

Kapitola 6 - Simulované žíhanie (ps.zip alebo pdf)

Kapitola 7 - Kombinatoriálne optimalizačné problémy (ps.zip alebo pdf)

Kapitola 8 - Evolučné stratégie (ps.zip alebo pdf)

Kapitola 9 - Umelý život (ps.zip alebo pdf)

Kapitola 10 - Neurónové siete (ps.zip alebo pdf)

 Všeobecné predstavy o darvinovskej evolúcii, chápanie evolúcie ako algoritmu, význam učenia v evolúcii (Baldwinov efekt), mémy (Dawkins) ako nosič informácie pre chromozómy.

Priesvitky k prednáške (ps.zip alebo pdf)

Pozri tiež pripravovaný článok "Umelá evolúcia" (ps.zip alebo pdf)

 Binárne kódovanie reálnej premenne, transformácia spojitého optimalizačného problému na binárny optimalizačný problém. Slepý algoritmus, horolezecký algoritmus (hill climbing), horolezecký algoritmus a učením, metóda zakázaného prehľadávania (tabo search), evolučné programovanie. Predmet tejto prednášky odpovedá 2. a 3. kapitole knihy "Evolučné algoritmy".

Priesvitky k prednáške (ps.zip alebo pdf)

 Genetické algoritmy, "messy" genetický algoritmus, paralélny genetický algoritmus. Základné princípy genetických algoritmov.

Priesvitky k prednáške (ps.zip alebo pdf)

 Teória genetických algoritmov.

Priesvitky k prednáške (ps.zip alebo pdf)

Genetické programovanie, symbolická regresia.

Priesvitky k prednáške (ps.zip alebo pdf)

Priesvitky k prednáške (ps.zip alebo pdf)

Priesvitky k prednáške (ps.zip alebo pdf)

Priesvitky k prednáške (ps.zip alebo pdf)

Priesvitky k prednáške (ps.zip alebo pdf)

Neurónové siete.

Priesvitky k prednáške (ps.zip alebo pdf)

Priesvitky k prednáške (ps.zip alebo pdf)

Podrobnosti o skúške, témy "case studies" (ps.zip alebo pdf)

 Skúška - témy "case studies"

Skúška z prednášky "Evolučné algoritmy" bude udelená na základe vypracovanej "case study" z oblastí uvedených nižšie. "Case study" je písomná práca v rozsahu približne 7-10 strán (page size A4, font size 10, line spacing single, obsahuje meno autora a jeho internetovské koordináty), obsahuje teoretický popis použitej metódy a získané numerické výsledky, ktoré sú ilustrované tabuľkami a grafmi. Integrálnou prílohou "case study" bude aj fungujúci program, pomocou ktorého bola vypracovaná jej aplikačná časť.

 Upozornenie: Záujemci o skúšku pošlú e-mailom aspoň jeden deň pred konaním skúšky ako attachment (do 16.00 hod.) vypracovanú "case study" na adresy {kvasnic,pospich}@cvt.stuba.sk , a musia sa uistiť, že sme ich súbor dostali v poriadku (pozor, musí byť do 2 MB), alebo sa dohodnú na inom spôsobe dodania súboru. Súbor má byť v PS alebo v PDF formáte, pričom "čitateľnosť" súborov nech je prekontrolovaná pomocou GhostView-u alebo AcrobatReader-u. Práce budú vystavené na tejto stránke pre poučenie budúcich generácií.

Ako vytvoriť PS dokument pomocou MS WORD-u: Priradí sa poscriptovská tlačiareň a nechá sa tlačiť do súboru (print to file), takto vznikne PS súbor, je potrebné ho ešte prekontrolovať pomocou GhostView, či sa vytvoril korektne.

Téma 1. Pakovanie (Bin Packing )

Pakovanie je klasickým problémom v optimalizácii. Predpokladajme, že máme nákladný voz schopný uviezť akýkoľvek počet krabíc, pokiaľ ich celková váha neprekročí W. V skladisku máte nelimitované množstvo rozličných typov tovaru. Každý typ položky i má váhu w_i a hodnotu v_i . Váš problém je určiť, ktorou kombináciou objektov dosiahnete najvyššiu hodnotu bez prekročenia maximálnej povolenej celkovej váhy. Napríklad, keď váhy a hodnoty sú

Najlepšia stratégia je naložiť toľko krabíc s pomarančmi ako sa len dá a zvyšok zaplniť knihami. Vyriešte problém pre väčší počet položiek s náhodne definovanými hodnotami a váhami pomocou genetického algoritmu, s obmedzeným počtom niektorých položiek, vymyslite si vlastnú reprezentáciu problému a k nej odpovedajúce chromozómy, mutácie a kríženie, porovnajte váš algoritmus s kanonickým genetickým algoritmom, a použite pokutovaciu funkciu. (Adaptované z http://www.epcc.ed.ac.uk/epic/ga/intro.html)

(tému vypracuje Jan Marčok, Jan.Marcok@st.fmph.uniba.sk)

Téma 2. Rozvrhovací problém (Scheduling problem)

Rozvrhovací problém je intenzívne v oblasti operačného výskumu už veľa rokov. Jednou z formulácií problému je predpokladať, že máme množinu N úkolov t_i, i=1..N, každý z nich vyžaduje niektoré zo zdrojov r_j po zadaný čas time_i,rj. Našou úlohou je nájsť najrýchlejší rozvrh pre celkové splnenie týchto úkolov, pričom zdroje môžu byť využívané súčasne, ale každý zdroj iným úkolom. Na poradí zdrojov pre úkol nezáleží. Vyriešte problém pre väčší počet úkolov s náhodne definovanými požadovanými zdrojmi a časmi pomocou genetického algoritmu, vymyslite si vlastnú reprezentáciu problému a k nej odpovedajúce chromozómy, mutácie a kríženie, porovnajte váš algoritmus s kanonickým genetickým algoritmom. Použite pokutovaciu funkciu pri nesplnení ohraničení.

(tému vypracuje Ján Wall, 8wall@nw.fmph.uniba.sk)

Optimalizujte funkciu f(x,y)=cos²(n Pi x) exp(-r² / s²), r²=(x-0.5)²+(y-0.5)² pre x,yÎ [0,1], kde n=9 a s²=0.15. Nájdite globálne maximum tejto funkcie pomocou genetického algoritmu a simplexovej metódy. Zväčšite dimenziu problému na 3,4,5,6 dimenzíí a porovnajte výkonnosť GA zo simplexovou metódou.(kód napr. v http://www.techxhome.com/products/optsolve/ alebo http://www.ulib.org/webRoot/Books/Numerical_Recipes/bookcpdf.html

(tému vypracuje Michaela Ačová, 6acova@st.fmph.uniba.sk)

(max. fitness = 120)

• Príklad: pre hodnoty 1,3,5,4,2 získaj 1,2,3,4,5 alebo 5,4,3,2,1 ako výstup: vertikálna čiara označuje výmenu hodnôt medzi horizontálnymi čiarami, keď je prvá hodnota väčšia/menšia ako tá druháe second value.
• Vyskúšaj: veľkosť populácie=10, kríženie=10%, mutácie=0%
• Vyskúšaj: veľkosť populácie =10, kríženie =10%, mutácie =1% (200 generácií)
• Vyskúšaj: veľkosť populácie =10, kríženie =80%, mutácie =1% (150 generácií)
• Vyskúšaj: veľkosť populácie =50, kríženie =90%, mutácie =1%

GA vytvára 5-vstupové sortovacie siete obsahujúce najviac 9 porovnaní-výmen. Existuje 120 fitness prípadov (všetkých 5! permutácií sekvencie 1,2,3,4,5), a korektná sieť ich všetky zoradí bezchybne. Vyskúšaj koevolúciu pre zložitejšie prípady, kde sekvencie hodnôt sa vyvíjajú nezávisle a sú ohodnotené tým lepšie, čím viac sietí na nich zlyháva.

(tému vypracuje Peter Beňo, 8beno@st.fmph.uniba.sk)

Dvojdimenzionálna kopa piesku môže byť skonštruovaná na základe veľmi jednoduchých pravidiel pre jednoduchý celulárny automat. Stav bunky je charakterizovaný počtom zrniek piesku, ktoré obsahuje. Obnovovacie pravidlo hovorí, že keď má bunka 4 alebo viac zrniek piesku, stráca 4, a od každej z bezprostredne susediacich buniek so 4 alebo viac zrnkami dostáva jedno zrnko. Postupnosť stavov kopy môže teda vyzerať nasledovne

Zaujímavou charakteristikou tohto systému je, že keď je raz dosiahnuté kritického stravu, pridanie jedného zrnka piesku môže spôsobiť lavíny všetkých možných veľkostí, ktoré môžu trvať takmer ľubovolne dlho. Keď tento proces opakujeme veľa krát, vychádza nám, že N(S)~ 1/S^a , N(S) je počet lavín veľkosti S (ovplyvňujúcich S buniek mriežky) a alfa je tzv. kritický exponent

1. Aká je najdlhšia lavína, ktorú môžete skonštruovať na mriežke 5x5? Počiatočný stav môže mať maximálne 3 zrnká piesku na mriežke, a jediné štvrté zrnko môže byť pridané do bunky, aby odštartovalo lavínu. Je možné skonštruovať nekonečný cyklus? Prečo? (Alebo prečo nie?)
2. Experimentálne určite koeficient alfa (to sa najlepšie urobí vytvorením veľkého počtu lavín a uchovávaním ich veľkostí. Potom nájdite počet lavín pre každú veľkosť – treba veľa výpočtov pre dobré výsledky. Nakoniec zobrazte výsledky na log-log grafe, mali by v zásade byť na priamke, ktorej sklon je rovný minus alfa.
3. Pokiaľ zväčšíte okolie na všetkých 8 susedov, a zvýšite kritický počet zrniek na 8, tento exponent sa zväčší. Čo spôsobuje túto zmenu?

(Adaptované z http://www.krl.caltech.edu/~charles/cns175/handouts/homework4.html)

(tému vypracuje Ján.Kováčik, Jan.Kovacik@st.fm.uniba.sk )

Téma 6. Problém všeobecnej splniteľnosti (general satisfiability SAT), aj keď zahŕňame všetky druhy logických klauzúl, nie len konjunkcie a disjunkcie. Každý problém pozostáva z 20 boolovských premenných (A0 - A19) a a sady obmedzení. Cieľom je samozrejme nájsť pravdivostné priradenie ku každej premennej tak, že sú splnené všetky obmedzenia. V uvedených problémoch sú najlepšie riešenia pre človeka triviálne, ale GA nemá našu znalosť logiky a musí prehľadávať extenzívne. Pre každý z GA behov vykreslite graf sily(min,max a priemer).

A) 5 konjunkcií, obmedzenia sú

1. Popíšte vašu reprezentáciu a funkciu sily. Pri vašej reprezentácii, ako veľký je priestor prehľadávania?
2. Opíšte rozdiely v správaní GA keď použijete veľkosť populácie 100 alebo 20. Pri každom z prípadov použite 50 generácií, pravdepodobnosť mutácie (pmut) 0.01 na chromozóm (nie na gén) a pravdepodobnosť kríženia (pcross) 0.75.

c) Použite veľkosť populácie 50, 50 generácií, pmut = 0.01 a 3 rozdielne pravdepodobnosti kríženia: 0.1, 0.3 and 0.8. V čom sa líši správanie algoritmu pre dané 3 behy?

3. Pri vašej funkcii sily, je povrch fitness hladký alebo rozoklaný? Vysvetlite Váš náhľad na vec. Keď vidíte povrch ako hladký (rozoklaný), ako by ste zmenili fitness funkciu aby bola viac rozoklaná (hladká )?

B) 10 konjunkcií, obmedzenia sú

g) Vymyslite novú fitness funkciu podstatne rozdielnu od prvej a testujte ju pre a) a e) s populáciou veľkosti 100, 100 generáciách, pcross = 0.8, pmut: 0.01. Aké sú výsledky v porovnaní s prvou fitness funkciou? Ako sa zmenil "povrch"?

B) 7 disjunkcií, 4 konjunkcie, obmedzenia sú

(Podľa http://www.ifi.ntnu.no/~keithd/classes/mnfit378/homework/2000/assign1.html)

(tému vypracuje Pavol Šupa, supa@napri.sk)

Téma 7. Použite simulované žíhanie pre riešenie pohybu koňa na šachovnici, kde zo zadaného poľa máte prebehnúť všetky ostatné poľa, pričom na každé pole vstúpite iba raz. Ako druhú časť úlohy riešte rovnaký problém s podmienkou, že sa kôň musí vrátiť naspäť. Pri riešení použite perturbáciu (mutáciu) toho druhu, že počiatok postupnosti polí do náhodne vybraného počtu polí skopírujete do nového riešenia a zvyšok vygenerujete. Úloha sa dá riešiť aj spätným prehľadávaním, ale len pre malé prípady.

(tému vypracuje Tomáš Pail, 8pail@st.fmph.uniba.sk)

Téma 8. Zhodnoťte vplyv stratégií výberu na optimalizáciu pri použití definícií z

pre prepočítanie sily proporčne (viď formula 4.11c v knihe Evolučné algoritmy) alebo na základe usporiadania podľa veľkosti (formula 4.12b) a vlastný výber ruletou, turnajom, pomocou tzv. stochastic universal sampling, local selection, výber odrezaním najhorších (truncation selection) opísaných v

http://www.systemtechnik.tu-ilmenau.de/~pohlheim/GA_Toolbox/algindex.html

(zobraté z http://www.aridolan.com/ga/gaa/gaa.html)

(tému vypracuje ...)

Téma 9. Zhodnoťte vplyv kríženia a mutácie pri optimalizácii pri použití definícií z

http://www.systemtechnik.tu-ilmenau.de/~pohlheim/GA_Toolbox/algindex.html

pre kríženie reálnych hodnôt: lineárnou kombináciou, priemerom, diskrétne a binárnych hodnôt: jednobodové, dvojbodové, viacbodové, uniformné a mutáciu binárnych premenných a reálnych premenných (z evolučných stratégií) pre funkcie daných v príklade 9.

(tému vypracuje ...)

Téma 10. Genetický algoritmus pre úlohu Number Partitioning Problem. Použite oba prístupy na kódovanie zobrazenia p , tak priamo pomocou N-tice celých čísel, ako aj pomocou binárneho reťazca (pozri cvičenie 7.1 z kapitoly Kombinatoriálne optimalizačné problémy). Porovnajte efektívnosť týchto dvoch rôznych prístupov.

(tému vypracuje Ján Hnila, hnila@dcs.fmph.uniba.sk)

Téma 11. Rozvrhovací problém pre procesory (task scheduling problem)

Máte za úlohu použiť genetický algoritmus na riešenie problému priradenia úloh. Súbor úkolov musí byť urobený na množine procesorov. Každý úkol je definovaný dvoma časmi: časom potrebným na výpočet úkolu a časom potrebným na prenos výsledkov na hlavný procesor, p0. Všetky procesory zdieľajú jeden alebo viac komunikačných kanálov a každým kanálom sa dá posielať iba jeden výsledok v danom čase, nie je možné paralelné zdieľanie kanálu. Úkoly ktoré prebiehajú na hlavnom procesore spotrebujú nulový komunikačný čas. Keď nie sú žiadne komunikačné kanály volné, procesor musí čakať aby vykonal komunikačnú časť svojho momentálneho úkolu. Cieľom je určiť rozvrh, teda sadu priradení úloh procesorom, ktorý by minimalizoval čas, kedy budú splnené všetky úkoly.

Pre inšpiráciu pozri napr. http://www-ra.informatik.uni-tuebingen.de/mitarb/schwehm/MYpapers/JAR98.ps.gz

(tému vypracuje Alexander Moravcik, 7moravcik@st.fmph.uniba.sk)

Použite článok o graph partitioning http://www-iasc.enst-bretagne.fr/PROJECTS/SWARM/Papers/ecal.ps.gz

a stránku http://www-iasc.enst-bretagne.fr/PROJECTS/SWARM/graph.html

(Pozri http://iridia.ulb.ac.be/~mdorigo/ACO/tutorials-courses.html)

(tému vypracuje Matúš Kalaš, 8kalas@nw.fmph.uniba.sk)

Keď sa vám zrazí mlieko alebo sa porežete a začnete krvácať, ide vlastne o podobné procesy. Tzv. sol-gel transition (prechod), konverzia kvapaliny na polotuhú látku, ktorá vzniká ako výsledok náhodného spájania molekúl. Tento proces, ktorý je analogický tomu, keď si ľudia v davu náhodne pospájajú ruky, je charakteristickou črtou percolation phenomenon (perkolácie).
Perkolácia je spojená s menom P.G. de Gennesa, nositeľa Nobelovej ceny za fyziku z roku 1991, ktorý ju dostal za svoju prácu v oblasti teoretickej fyziky porušených materiálov. Ten opísal perkolačný prechod následovne: "Mnohé javy sa dejú vďaka náhodným ostrovom a za určitých okolností, medzi týmito ostrovmi sa vynorí jeden makroskopický kontinent."
Perkolácia je pomerne častým úkazom v prírode. Vyskytuje sa v chemických systémoch (polymerické reakcie), biologických systémoch (imunologické reakcie) a fyzikálnych systémoch (critical phenomena). Presakovanie, perkolácia, je fyzikálna teória, ktorá umožňuje porozumieť javom, ako je tvorba klastrov, presakovanie jedného média do druhého, pomocou tejto teórie možno odhadnúť výnosnosť naftových ložísk, a pod.

Random Site Percolation (RSP)
RSP sa skladá z m x m veľkej náhodnej Booleanovskej mriežky. Táto mriežka teda obsahuje miesta, kde sú jednotky a nuly. Miesta s jednotkou reprezentujú obsadené miesto, miesta s nulou prázdne. Pravdepodobnosť p, že bunka je obsadená, je nezávislá na svojich susedoch. Klaster je potom definovaný ako skupina obsadených najbližšie susediacich buniek. (najbližším susedom rozumieme miesta vľavo, vpravo, dole a hore od bunky.

Za predpokladu, že p je pravdepodobnosť pre každú bunku byť obsadenou (teda ohodnotenou 1)aký je očakávaný počet klastrov veľkosti 3 na mriežke? (Pre jednoduchosť ignorujte okrajové efekty).

Vo väčšine prípadov je nemožné určiť kritickú pravdepodobnosť objavenia sa nekonečného klusteru (teda takého, ktorý siaha z jednej strany mriežky na druhú). Pre 64x64 rpravideľnú štvorcovú mriežku experimentálne určite kritickú pravdepodobnosť testovaním, či sa objavil "nekonečný kluster" pre p (pravdepodobnosť medzi 0 a 1). To zistíte generovaním náhodných konfigurácií pre fixné p toľkokrát, aby ste dostali podiel prípadov, kedy sa objavil nekonečný kluster, a tento postup opakujte pre rozdielne p. Zobrazte pravdepodobnosť nájdenia nekonečného klusteru proti pravdepodobnosti p.

(Podľa http://www.krl.caltech.edu/~charles/cns175/handouts/homework4.html)

(tému vypracuje ...)

Genetickým programovaním vytvoriť "program" pre mravca pomocou súboru pravidiel. Mravec má zberať potravu rozsiatu na nie celkom súvislej dráhe umiestnenej na toroidálnej mriežke, pričom má iba obmedzené senzory (teda vidí iba na vedľajšie bunky mriežky). Mravec má za daný počet časových krokov zozberať čo najviac potravy. V detailoch zadania sa možno inšpirovať na http://www2.informatik.uni-erlangen.de/~jacob/Evolvica/GP/Java/html/ant/ant.html). Úlohou je vygenerovať pravidlá a) pre vlastnú náhodne vygenerovanú dráhu s podobnými vlastnosťami ako je John Muir Trail z vyše uvedenej WWW stránky. b) Vyskúšať vygenerovanie pravidiel, ktoré by platili pre viac dráh súčasne.

(tému vypracuje Aleksandra Takáč, Aleksandra.Takac@st.fmph.uniba.sk)

1. Aleksandra Takáč: Genetické programovanie pre mravca hľadajúceho cestu (case study pdf, implemetacia exe.zip)
2. Alexander Moravcik: Rozvrhovací problém pre procesory (task scheduling problem) (case study pdf, implemetacia exe.zip)
3. Ondrej Jaura: Samoorganizácia slovníka v spoločenstve agentov (case study pdf)
4. Peter Bodík: Líšky, zajace a iné (case study pdf)

 Vypracované "case studies" v šk.r. 2000/2001

 viď http://math.chtf.stuba.sk/evol/prednaska00.htm naspodku strany

 viď http://math.chtf.stuba.sk/evol/prednaska99.htm naspodku strany