4.1.1 Wienerov filter

Obsah

4.1.1 Wienerov filter

Predstavme si n-senzorov umiestnených na rôznych miestach.(viď obr. 4.1) Tieto senzory produkujú signály $in_{1},\dots,in_{n}$ . Signály sa potom s určitými váhami integrujú do výstupného neurónu. My chceme mať na výstupe nejaký výsledok, ktorý v procese učenia dobre poznáme

. Teda ak

je výstup z výstupného neurónu, tak

**Obrázok 4.1:** Schéma Wienerovho filtra
$\begin{figure} \begin{center} \epsfig {file=img/41.ps} \end{center} \end{figure}$

$\begin{displaymath} ou~=~\sum_{k=1}^{n} w_{k} in_{k} \end{displaymath}$

(4.1)

Nech je známy chybový rozdiel

$\begin{displaymath} e~=~ev~-~ou \end{displaymath}$

(4.2)

Už v úvode je potrebné poukázať na principálnu rozdielnosť voči perceptrónu tým, že kým pri perceptróne na vstup vstupovali vstupy iba z dvoch rôznych tried, tu môžu byť usporiadané dvojice (

) patriace do mnohých skupín a v podstate sa tu nejedná o dichotómiu. Topologický sú z pohľadu NN Wienerov filter a perceptrón veľmi podobné. Teda môžeme definovať všeobecnú chybovú funkciu v tvare

$\begin{displaymath} J~=~0.5~E(e^{2}) \end{displaymath}$

(4.3)

kde $E(e^{2})$ je stredná hodnota kvadrátov všetkých rozdielov. Základným problémom je teda nájsť také $w_{1},\dots,w_{n}$ , pri ktorých $J \to 0$ . Takýto filter v oblasti spracovania signálov nazývame Wienerov filter. Do určitej miery je pojem filter trocha mätúci, ale ide o filtráciu vstupov. Je potrebné to chápať ako vhodné priradenie výstupov k jednotlivým vstupom. Ak do rovnice (4.3) dosadíme (4.2) resp. (4.1), dostaneme nasledovný výraz:

$\begin{displaymath} J~=~0.5~E(ev^{2})-E(\sum_{j=1}^{n} w_{i}in_{i}ev) + 0.5 E(\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} w_{j}w_{k} in_{j}in_{k}) \end{displaymath}$

(4.4)

Stredná hodnota je lineárna operácia preto môžeme urobiť nasledovné upravy:

$\begin{displaymath} J~=~0.5~E(ev^{2})-\sum_{j=1}^{n} w_{i}E(in_{i}ev) + 0.5 \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} w_{j}w_{k} E(in_{j}in_{k}) \end{displaymath}$

(4.5)

teraz si skúsme popísať jednotlivé funcie v rovnici (4.5) nasledovne

$E(ev^{2})~=~r_{ev}$ označme ako strednú hodnotu očakávaného výsledku .
$E(in_{j}ev)~=~r_{in,ev}(j)$ je kroskorelačná funkcia medzi vstupmi in a očakávanými výstupmi ev.
$E(in_{j}in_{k})~=~r_{in,in}(jk)$ je autokorelačná funkcia medzi samotnými vstupmi navzájom

Potom môžeme rovnicu (4.5) prepísať do tvaru

$\begin{displaymath} J~=~0.5 r_{ev}- \sum_{k=1}^{n}w_{k}r_{in,ev}(k)+0.5 \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} w_{j}w_{k} r_{in,in}(jk) \end{displaymath}$

(4.6)

Teda pri hľadaní váh, ktoré by minimalizovali chybovú funkciu môžeme napísať že

$\begin{displaymath} \frac{\partial J}{\partial w_{l}}~=~-r_{in,ev}(l)+ \sum_{j=1}^{n} w_{j} r_{in,in}(jl) \end{displaymath}$

(4.7)

potom logicky pri hľadaní váh počítame s podmienkou $\frac{\partial J}{\partial w_{l}}~=~0$ a dostávame z (4.7)

$\begin{displaymath} \sum_{j=1}^{n} w_{j} r_{in,in}(jl)~=~r_{in,ev}(l) \end{displaymath}$

(4.8)

Potom systém l-rovníc (4.8) o n-neznámych $w_{j},l=1,\dots,n$ nazývame Wienerovým systémom rovníc a filter s vypočítanými váhami voláme v teórii signálov Wienerovým filtrom.

CIG Homepage(E-mail us!)